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解析:

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）（右图）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”。《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得： a2+b2=c2

亦即：c=（a2+b2）(1/2)

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽（右图）用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。（左图为刘徽的勾股证明图）

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

数学勾股定理公式是什么？

一、勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方。

其中，短直角边叫“勾”，长直角边叫“股”，斜边叫“弦”

即：勾?+股? = 弦?

二、勾股数：是满足勾股定理 a?+b? = c? 的 正整数，其中的 a、b、c称为勾股数。

例如: 3?+4? = 5?，则 3、4、5 就是一组勾股数组。

同理，(3k)?+(4k)? = (5k)?，k是任意正整数，则3k、4k、5k 也组成勾股数。

但是当 k 为小数或分数时，则 3k、4k、5k 也组成直角三角形，如 k=0.2，则 0.6，0.8，1 也构成直角三角形，只是不叫勾股数 。

另外，任意一组勾股数 a、b、c，都可以表示为如下形式：a=k(m?-n?)，b=2kmn，c=k(m?+n?)，其中k，m，n 都是正整数，且m>n。

例如：k=2，m=8，n=5，这时a=2×(8?-5?)=78，b=2×2×8×5=160，c=2×(8?+5?)=178，则 78，160，178 组成勾股数。

三、勾股定理的作用：

1、已知直角三角形的两边，求第三边。

如已知直角三角形的斜边和一条直角边分别是10和8，求第三边是多少？

10?-8? = 6?，答第三边是 6 。

2、已知一个三角形的三边的长分别是0.9，1.2，1.5，问三角形的形状。

解：因为0.9?+1.2? = 1.5?，所以这个三角形是直角三角形。

勾股定理公式

1、基本公式

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a?+b?=c?。

2、完全公式

a=m，b=(m?/k-k)/2，c=(m?/k+k)/2其中m≥3

(1)当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m?的所有小于m的因子}

(2)当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m?/2的所有小于m的偶数因子}

3、常用公式

（1）(3,4,5),(6,8,10)……3n,4n,5n(n是正整数)。

（2）(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)……2n+1,2n?+2n,2n?+2n+1(n是正整数)。

（3）(8,15,17),(12,35,37)……2?*(n+1),[2(n+1)]?-1,[2(n+1)]?+1(n是正整数)。

（4）m?-n?,2mn,m?+n?(m、n均是正整数,m>n)。

扩展资料：

勾股数组

勾股数组是满足勾股定理a2+b2=c2的正整数组（a，b，c），其中的a，b，c称为勾股数。例如（3，4，5）就是一组勾股数组。

任意一组勾股数（a，b，c）可以表示为如下形式：a=k（m?+n?），b=2kmn，c=k（m?+n?），其中k，m，n均为正整数，且m>n。

3勾股定理的定理用途

已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。

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